三人の囚人問題

　モンティ・ホール問題と等価だとされている三人の囚人問題で従来の説明が間違っていないか試してみましょう。
　ある国の監獄にA、B、C、という３人の政治犯がいてそれぞれ独房に入れられています。罪状は似たり寄ったりで近々３人まとめて処刑される予定になっています。ところが恩赦が出て３人のうち一人だけ助かることになったのです。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか」と聞いても看守は答えません。
　囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼みました。「私以外の２人のうち１人は必ず死刑になる筈だ。その者の名が知りたい。私のことじゃないのだから、教えてくれても良いだろう。」すると看守は「Bは死刑になる」と教えてくれた。それを聞いた囚人Ａは「これで助かる確率が１／３から１／２に上がった」とひそかに喜んだのです。果たして囚人Ａが喜んだのは正しいでしょうか。
　この問題についても囚人Ａが喜ぶのは無意味であったとする説明が多いのです。１／３のままで変わっていなくてＣの助かる確率が２／３に上がっているというものです。
　本当はどうなのか、ベイズの定理を用いて、囚人Ａが喜んだのは正しいか確かめます。
　X：３人の囚人Ａ、Ｂ、Ｃがいて１人が助かる

　D：Ｂは死刑になる

　H：Ａが助かる
　P（H｜X)：Xが眞であるという条件の下にHが真である確率（＝１／３）

　P（H｜DX）：Dを見た後にHが真である確率（求めるもの）

　P（D｜X)：Xが眞であるという条件の下にDが真である確率（＝２／３）

　P（D｜HX）：Hが真であるという条件のもとにDが真である確率（＝１）



　ベイズの定理によると、

　P(H｜DX)＝P(H｜X)P（D｜HX)／P（D｜X）

　　　　　　　＝（１／３）（１）／（２／３）＝１／２
　つまり、Dを見た後の事後確率は１／２になっています。Cが助かる確率も１／２になっていることは同様に確かめられます。つまりＡが助かる確率は１／３から１／２に上がっているというものです。



　実はこれも早合点です。看守は必ずBかCの少なくとも一人は処刑されるので、確実に処刑される方を選ぶことが出来たのです。従って、P（D｜X)＝１
　P(H｜DX)＝P(H｜X)P（D｜HX)／P（D｜X）

　　　　　　　＝（１／３）（１）／（１）＝１／３
　やはりAはぬか喜びでした。