公理に基づく確率

　確率の定義に関して論争が拡大している時、数学者は抽象的な確率理論を打ち立てました。数学はすべて抽象の世界での論理ですから当然です。確率は実世界の問題から考えられたものであるにせよ数学者は抽象世界の中で理論を展開しました。
　コルモゴロフは次の公理を満足するP(A)を確率と定義しました。

　（１）P(A)は非負の実数である。

　（２）確実に起こる事象Aの確率P(A)は１である。
　（３）事象Aと事象Bが相互背反ならば、AかBが起こる確率P(A＋B）はP(A)＋P(B）に等しい。
　ここで、Aは事象の内容です。P(A)は事象Aが起きる確率です。公理とは証明無しに誰もが認める命題を言います。そして、事象とは出来事で、例えば「雨が降る」、「サイコロ振りで1の目がでる」、などです。
　（３）の意味するところは、確率は加法が成立するということです。数学者はこの３つの公理から出発して確率理論を打ち立てています。P(A)の意味が主観であろうと客観であろうと、確信の度合いであれ、頻度概念であれ、公理を満たしていさえすれば確率理論の結論は有無を言わさずに成立します。
　実世界の問題で数学の確率理論が期待したほどには応えてくれない理由はP(A)が如何なる数値であるかについては何も言っていないことにあります。数学の確率理論は確率が与えられれば、このようなことが結論できるという演繹的な理論です。
　事象Ａと事象Ｂが相互背反でない場合は、事象Ａと事象Ｂが同時に成り立つ事象があります。つまり、P(AB)が０でありません。このとき、AかBが起こる確率 P(A+B)は P(A)+P(B)-P(AB) に等しいことが公理を使って証明できます。確率の和の規則   です。